E.B.Dynkin(--)
这个本科生就是E.B.Dynkin(--),他是一个犹太人,从小生活在列宁格勒,直到11岁时赶上苏联大清洗,他的全家被流放到哈萨克斯坦;13岁时,他的父亲在那场运动中失踪.不过,16岁时他竟然被允许进入莫斯科大学学习,Dynkin本人都认为这是个奇迹.更神奇的是,在本科期间除了参加Gelfand讨论班,他还参加了另一个完全不同领域的讨论班——Kolmogorov主持的讨论Markov链的讨论班.后来,Dynkin在Kolmogorov的指导下于年完成毕业论文.这个经历造就了Dynkin独特的数学研究生涯——在两个完全不同的领域都做出了杰出的成就,这在近现代数学家中是很少见的.从Dynkin文集中可以看出,年之前,Dynkin在Lie理论和概率论两方面都有系列的研究成果,年之后才完全投入到概率论中.我是在博士阶段与做概率论的同学聊天时得知Dynkin在概率届有举足轻重的地位的.与Dynkin有点相似的是Harish-Chandra,他在年之前的文章全是关于粒子物理的,之后的研究全部转向了半单Lie群的表示论相关的数学问题,只是Harish-Chandra在物理学方面的影响不及其在表示论方面的工作.
Dynkin在本科阶段的发现就是后来有广泛应用的Dynkin图,举个例子来说明吧.
问题14.13设
为第
行第
列的元素为
,其他元素都是
的矩阵.Lie代数
的一组基为
其中生成一个Cartan子代数
(我总有一种要把它改成Killing子代数的冲动);一维子空间
就是根子空间,它们是所有
的公共不变子空间,即
这里,
是
上的线性函数,对任意对角矩阵
,
.用Killing的根系的语言来表述,
对应的根为
.
从这个例子可以很明显地看出,根子空间都是一维的,且根是成对出现的,即
是根,
也是根.因此我们只需要考虑其中的一半.对于
而言,只需要考虑
即严格上三角矩阵对应的根.这些根(称为正根)有一组自然的生成元(称为素根)
于是,
对应的根为
记
为
生成的实线性空间,Killing型是其上自然的内积,因此
是一个Euclid空间.不难看出,每一个根都是
上的线性函数(并不是显然的).利用Killing型将
与
等同,于是我们可以考虑这些根的长度和夹角!不难发现,素根的长度都一样,任意两个素根之间的夹角都是
或
,也就是说,对于任意两个素根
,其Cartan整数
是
或
.我们可以用一个图来表示这些素根的关系
选择这样的素根系还有一个重要的原因:所有根都是这些素根的整系数组合,且所有系数都同时是非负(正根)或非正(负根)的.
对于
的情形,选择严格上三角矩阵是自然的,从而可以自然的选择一组生成元.Dynkin的杰出发现是,对于任意复单Lie代数,都有类似的正根系
的选择,从而唯一确定素根系
(素根就是不能写成两个正根之和的正根).当然,素根的夹角也不仅是
或
,还可能是
或
,相应的素根的长度之比为
或
.这样,所有复单Lie代数的Dynkin图为(其中的箭头指向短根):
图的解读首先需要指出的是,Dynkin图在很多领域中出现,尤其是其中的ADE三种情形,有机会再聊.从简单的Dynkin图出发,我们可以得到很多信息,比如
问题14.14
与
有显著的不同.这一点也可以从群结构上看得出来:
是单群,而
不是单群,因为其中心不是平凡的.
更一般地,我们能从图中读出对应的复单Lie代数的很多信息:秩(Cartan子代数的维数或素根的个数)、根系、维数等.我们把一些数据列为下表:
观察一下上表,有一个很好的规律:复单李代数的维数是其秩的倍数,且它们的商比Coxeter数多
.另一个有趣的事实是(我不知道其中有什么深刻的原因)
问题14.15例外单李代数的维数与秩的商都是素数！(还有学生跟我说这恰好前四个
的素数)
另外,上表中提到了Coxeter数,这是Coxeter考虑有限反射群的分类时提出的,是所有素根对应的根反射的乘积的阶数.这个神奇的数字也在很多地方出现.Dynkin也承认,他后来注意到Coxeter也得到了同样的图,只是Coxeter是用图来表示有限反射群的分类,得到的图要多一些(我还没有来得及读Coxeter的工作).
问题14.16从Dynkin图可以很容易看出各个单Lie代数之间的关系:
(1)我们知道
是
的子代数,从Dynkin图的角度看,
的图有对称性:
也就是说这个图有一个图自同构,并且是一个对合自同构
:将素根
与
置换.令
画出
的Dynkin图,则在
为偶数时得到
,
为奇数时得到
.得到
稍微有点复杂,后文再谈.这个图自同构
可以自然地延拓为Lie代数
的对合自同构,其不动点子代数就是
或
.
(2)
也有一个明显的对称性,同样操作可以得到
,而
自然可以看作
的子代数,也是某个对合自同构的不动点.
(3)
的对称性更强,有一个三阶自同构,这个自同构的不动点是
.
(4)
有对称性,其不动点是
.
(5)从Dynkin图可以直接看出:
是
的子代数,
是
的子代数.
更深层次的内容需要通过研究Lie代数的对合自同构得到,这需要扩充Dynkin图.
和谐图或扩充Dynkin图可能会有读者记得,我们在代数学发展史:正多边形和正多面体一文中提到
三类Dynkin图,这是从正多边形和正多面体的对称性得到的.同时我们还提到了和谐图,这是Mckay研究正多边形和正多面体的对称群(准确地说是
的有限子群)的不可约表示时得到了.考虑一个连通图(也就是由平面上有限个点——称为顶点——和某些顶点之间的连线得到的图,整个图形是连通的),给每个顶点赋一个正整数值.如果存在一种赋值方法使得每个顶点的赋值的
倍等于与之相邻的顶点的赋值之和,则称这种图为和谐图.利用中学知识就可以得到
问题14.17所有和谐图为
和谐图与
三类的Dynkin图的关系是明显的:去掉其中的黑点及其连线就得到相应的Dynkin图.不过这只是表面现象,还有深层次的内容.
(1)图上黑点的地位并不特殊,实际上所有图中,标号为
的点都是对称的,地位都一样,去掉任何一个标号为
的点都能得到相应的Dynkin图;
(2)和谐图的每一个顶点的标号在Lie代数中是有意义的:复单Lie代数的最高根是素根的线性组合,组合系数恰好就是上述和谐图相应顶点的标号.和谐图的黑点实际上就是该单Lie代数的最低根(负的最高根),从这个意义上来说,和谐图就是Dynkin图加上最低根及其连线得到的扩充Dynkin图;%也就是说,和谐图中所有顶点的线性组合是零,组合系数就是各顶点的标号.
(3)从Dynkin图得到和谐图或扩充Dynkin图:在任何一个
型的Dynkin图上添上一个点及一些连线得到的新的图
,要求图
不是Dynkin图,但在图
中去掉任何一个点及其连线又得到Dynkin图(可能不连通,分成几个Dynkin图).这样所有可能得到的图就是和谐图;
(4)利用上述规则可以得到
四类Lie代数的扩充Dynkin图,它们实际上是加权的和谐图,不过需要知道最低根是长根.
(5)和谐图还蕴含了复单Lie代数的所有对合自同构的信息,这又对应于实单Lie代数的分类,这是严志达院士的工作,由此得到严图;实单Lie代数的另一种分类方法是日本数学家Araki从Dynkin图出发得到的,对应的图被称为Satake图.这部分内容下回接着说.
朱富海