在高等代数课程中遇到的很多概念,如行列式、矩阵、线性映射、线性变换、双线性函数和内积等,都可以统一用一个非常重要的概念来表述,这就是张量,它在代数、几何、分析及物理等领域有广泛应用.张量理论的发展要归功于两个意大利数学家——GregorioRicci-Curbastro(里奇,–)和他的学生Levi-Civita(–).
学过现代微分几何的都知道Levi-Civita联络;而Ricci的大名更是如雷灌耳,Perelman对Poincarè的证明正是基于一个被称为Ricci流的概念.当然,Ricci流实际上是R.Hamilton与年提出的,不过其中的核心概念Ricci曲率张量的确归功于Ricci.年,Ricci系统地发展了后来被称为张量分析的理论,Levi-Civita在年将该理论发扬光大并为世人所知,Einstein在年提出的广义相对论完全是用张量的语言写出的.
据个人经验，本文的内容对于初学者来说非常重要，尽快习惯张量的语言对于深入代数、微分几何等领域是很有帮助的.
张量积
张量可以看作是标量、向量、矩阵等概念的推广,标量是0阶张量,向量是一阶张量,而矩阵就是二阶张量.如果把矩阵推广到高阶就是高阶张量,而高阶张量实际上是由低阶张量利用一种乘法运算——张量积——得到的.我们来看看如何由一阶张量即向量得到二阶张量.
理解张量积的最自然的方式可能是从双线性函数的角度来看.设V,W为域F上的线性空间,称二元函数h(α,β)为V×W上的双线性函数,如果对任意有
双线性函数的全体自然构成一个线性空间B.
一个很自然的构造双线性函数的方法是取,定义
容易验证h是双线性函数,记为f?g,称为f与g的张量积.所有形如f?g生成的B的子空间记为,即
我们称为V与W的张量积,其中的元素称为张量.需要注意的是:上述定义中的求和是有限和,并且中的元素不一定能写成f?g的形式,而通常是一个线性组合.
我们知道,任何线性空间都可以看作的对偶空间的子空间,即对任意,定义
容易验证且是到的单线性映射.这样我们可以定义V与W的张量积为
这是一个线性空间,其中的元素都是上的双线性函数.利用上述讨论容易得到张量积有如下的双线性性.
引理对任意有
如果分别为V,W的一组基,则利用双线性性不难得到对任意设,有
即是的生成元.进一步,设为的对偶基,即,有
则
从而于是,,i=1,2,···,m,j=1,2,···,n线性无关,故为的一组基.于是有
引理设V,W是域F上的有限维线性空间,则dimV?W=dimV·dimW且V?W是上的双线性函数的全体.
我们接触过的很多概念都可以看作张量,试举一例如下.对任意定义
容易得到,若V,W为有限维F-线性空间,则定义了一个线性同构
线性变换的张量积
现在我们来考虑张量积V?W上的线性变换.对任意
，
定义
容易验证记为即为与的张量积.设分别为V,W的一组基,与在对应基下的矩阵分别为A,B.要求在V?W的基,i=1,2,···,m,j=1,2,···,n下的矩阵,需要将这组基排序.一般有如下两种排序方法:
也就是将自然排成m×n矩阵,分别按照行与列进行排序.
由于
故在上述两组基下的矩阵分别为
于是我们引入
定义设称mn×st矩阵
为A,B的张量积,记为A?B.
设有
转换成矩阵语言为
引理设则若A,B都可逆,则
利用上述讨论,我们可以得到矩阵的张量积有如下性质.
引理设则
实际上我们可以得到以下更一般的结论.
命题设为A的特征值,为B的特征值,则
为A?B的所有特征值.
结合代数数(或代数整数)是首一有理系数(或整系数)多项式的根,而首一有理系数(整系数)多项式的根都是某个有理（整数）矩阵的特征值,利用上述命题不难得到代数数（代数整数）全体构成一个数域（整环）.
张量代数
类似地,我们可以定义高阶张量空间
其中元素称为(p,q)-型张量,它们在微分几何中用处很广.
特别地,在代数学中有重要应用的是n重张量空间
其中考虑所有张量空间的直和
自然地,对任意两个张量
定义其乘积为
这就自然定义了T(V)上的一个双线性乘法.不难验证这个乘法是结合的,但一般不是交换的.于是我们用V生成了一个无穷维的结合代数,称为V的张量代数.张量代数有一个很重要的泛性质,为理解这一点,我们先看二阶张量的泛性质.
设U,V,W都是F上的线性空间,考虑双线性映射对于任意α∈V,β∈W,有唯一的张量α?β∈V?W与之对应.于是我们定义
可以自然地延拓为V?W到U上的线性映射,它是由唯一确定的.换句话说,我们把乘积空间上的双线性映射转化成了张量空间上的线性映射,这将方便我们的研究.
为了更好地理解张量积的特别之处,我们需要引入泛性质.
定义设V,W,S都是数域F上的线性空间,?:V×W→S为双线性映射.称(?,S)满足泛性质,如果对任意线性空间U,任意双线性映射h:V×W→U,都存在唯一的线性映射:S→U使得下图
为交换图.
不难证明满足泛性质的线性空间S在同构意义下是唯一的,而张量积自然满足上述的泛性质.
类似的泛性质在代数学中很常见.由张量积的泛性质不难得到张量代数的泛性质.
命题设V是数域F上的线性空间,T(V)为V的张量代数,则对任意结合代数A,任意f∈Hom(V,A),存在唯一的代数同态使得下图
交换图.其中,i是V到T(V)的自然嵌入.
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