控制系统的校正方法系列(1)：PI与PID控制在控制系统优化过程中，动态性能的补偿显得尤为重要。为了提升系统的稳态精度、响应速度及稳定性，不同的控制策略被广泛应用。本文将深入剖析比例积分（PI）与比例积分微分（PID）控制的原理及其在实践中的应用，并探讨这两种方法在优化系统动态特性方面的优劣势。通过详尽的案例分析和频率响应曲线，我们将揭示这些控制策略如何影响系统的行为，并指导读者在实际工程中如何做出明智的选择。
此外，本系列还将讨论其他几种重要的控制系统动态性能改进技术，包括超前滞后补偿、滞后超前补偿等，并辅以案例分析，为读者提供全面的视角和实用的指导。
控制系统性能补偿的需求往往源于系统的具体应用要求。这些需求可能包括稳态精度、稳定性以及特定频率下的响应性能等。对于稳态精度，控制器中引入的积分器能够有效消除误差，但需注意相位滞后问题。而对于稳定性要求，则可以通过增益和相位裕度等指标来衡量。在多层系统设计中，还需考虑不同需求之间的冲突与平衡。这些要求的合理性往往与控制系统在更大、更复杂的系统中所扮演的角色紧密相关。在许多情况下，控制系统内的不同需求可能会相互冲突。以液压驱动系统为例，稳定性和刚度要求往往相互矛盾。刚度及其对应的阻抗是极具挑战性的要求之一，因为实际系统往往展现出“软”的特性。液压油中混入的空气会显著降低其有效体积弹性模量，使其远低于理论值。同时，连接点的轴承特性也会对测试结果产生重要影响。
动态补偿的必要性在于，通过“软化”系统，可以缓解高惯性负载驱动系统的稳定性问题，使其在外部负载作用下产生更多偏转。这种策略可以利用压力反馈来实现，从而提供伪加速度反馈。然而，在最简单的实现形式中，压力（或力）反馈可能在高气动力环境下导致控制效果下降。
控制系统补偿是设计者改善系统动态性能的重要策略。通过在控制回路中引入动态元素，可以缓解控制元件的不良特性，如积分器的90度滞后、传感器和变送器的响应缓慢，以及过程延迟、非线性和其他不利因素。这种补偿方法通常涉及“预测”功能的实现，通过对控制信号进行微分来测量其变化率。例如，在位置控制回路中，可以通过对位置反馈信号进行微分来获得输出速度，进而预测未来位置。通过精心设计的传递函数，可以构建出能够实现所需控制动作的预测装置。接下来，我们将深入探讨PI与PID控制的原理及其在控制系统中的应用。在先前的研究中，我们发现积分环节在闭环系统中发挥着显著优势，它能确保稳态误差在低频时（特别是在零频时）被减小至零，从而获得固有的高增益。但值得注意的是，积分环节带来的90度相位滞后可能在开环增益接近0dB线并尝试建立稳定性裕度的过渡频率范围内造成困扰。为了应对这一问题，一种有效的解决方法是将比例路径引入到误差信号的处理中，使得比例和积分成分能够并行生成，并最终将它们的输出进行相加，如图所示。PI控制示意图
比例加积分控制装置的输出可简单表示为误差信号与积分和比例路径贡献之和的乘积。从直观角度看，在高频区域，积分器的输出会显著减小（由于s项的增大），这使得比例路径在控制输出中占据主导地位。相反，在极低频区域，积分器的高增益特性使其输出成为控制输出的主要部分。
上述表达式可通过以下方式推导：或其中τ是时间常数。
引入分子中的一阶项，即所谓的“一阶超前”，其频率响应与滞后相反，即随着频率的增加，相位角和增益也相应增加。
此外，还可以通过以下图表来理解这一传递函数的形成：
改进的PI控制在图示的反馈系统中，由于是正反馈，我们需采用特定规则来合理化传递函数。该规则为：前向路径除以一减去回路增益。依据此图，我们得到以下传递函数：
这种改进之处在于，即便不借助实际积分器，也能实现积分功能，这在控制工程中非常有用。虽然电子领域容易实现理想控制功能，但液压、气动和机械等领域却更具挑战性。在这些复杂环境中，通过利用限制器和合规容积来模拟一阶滞后，进而构建延迟，往往比直接实现纯积分作用更为简便。
为了更深入地理解P+I控制特性，我们采用具体数值来描绘频率响应曲线。设和。这些参数将导致以下控制传递函数：，其中2秒的时间常数源自。
下图展示了该函数增益随频率的变化趋势：增益随频率变化的曲线
此外，下图还描绘了相位角随频率的变动情况：相位角随频率变化的曲线显示，在低频区域，积分项占据主导地位，其控制作用类似于一个简单的积分器，增益为（即弧度每秒）。然而，一旦频率超过约弧度每秒，控制作用便几乎完全转变为比例增益为（即+6dB），且基本上不存在相位滞后。因此，P+I控制在低频时提供积分控制，确保稳态误差为零；而在高频时，则主要提供比例控制，从而避免了-90度的相位滞后。通过精心调整积分和比例增益，工程师能够精确地将超前时间常数设定在控制回路中的主要滞后环节上。此外，P+I控制还进一步演化为P+I+D控制，即比例、积分和微分控制的结合，其中微分控制是PID控制的独特之处。下图展示了这一控制概念的示意图。PID控制示意图这种控制方法为系统提供了更为强大的功能，但同时也增加了设计的复杂性。通过对控制器传递函数进行合理化处理，我们得到以下公式：
现在，公式中的分子包含了一个二阶项，这个项可以视作两个串联的一阶项的组合，或者根据特定参数的值表示为一个具有虚根的二阶项。
在实根的情况下，我们获得两个一阶超前项，它们能够像在P+I控制示例中那样，用于抵消控制回路中的主要滞后项。而对于虚根情况，我们可以借鉴处理振荡的弹簧-质量系统的方法，引入自然频率和阻尼比的概念。由于这个二阶项位于公式的分子位置，其增益和相位会随着频率的上升而发生变化。下图展示了阻尼比特定时，分子二阶系统的增益曲线。增益随频率变化曲线
从图中我们可以观察到，通过调整自然频率的位置，可以有效地抵消开环传递函数分母中由工艺或其他控制环节引发的共振。当需要消除的环节阻尼比很低时，这种补偿措施（通常被称为“陷波滤波”）要求精确地将补偿器的自然频率与需消除的分母项自然频率相匹配。在设计陷波滤波器时，任何微小的偏差都可能导致系统整体性能和稳定性的显著降低。
在实际应用中，对于许多控制系统而言，PID控制可能显得过于复杂，因为微分项所带来的问题往往超过其带来的益处。微分项容易受到噪声的影响，特别是在高频段，噪声会被显著放大，从而严重影响系统性能。因此，在采用带有微分作用的PID控制时，建议加入高频滤波器，以防止系统受到不必要的高频噪声干扰。PID控制更适用于响应速度较慢的系统，例如典型的过程控制。