在深入探讨微分积分电路与PID控制原理之前，我们首先需要理解电容的基本概念。电容，作为电荷的存储容器，其微观工作机制在于：随着电荷的流入，极间电场会随着时间的推移而逐渐增强。这一过程可以通过图来直观展示。①在充电初期，电容Uc的电压为0V，此时压差△U等于电源电压Ur和输入电压Ui由于容器内尚未有电荷积累，因此无电场排斥新流入的电荷。这导致电流Ic达到最大值，容抗最小，近似于短路状态；②随着Uc的逐渐上升，压差△U开始减小，这一变化过程产生了电场电场开始排斥新流入的电荷，导致电流Ic逐渐减小，容抗随之增大；③当Uc升至与输入电压Ui相等时，压差△U和电源电压Ur均降为0V此时，容器内的电场达到最强，以最大排斥力阻止电荷的流入。因此，电流Ic降为0，容抗达到最大值，近似呈现开路状态。图展示了电容容器的充电模型。在放电过程中，当电荷从容器中流出时，极间电场会随着时间的推移而逐渐减弱。此时，这个放电过程的电容可以视作一个内阻为0的电压源。为了更清晰地说明这一点，我们可以参考图2，其中电源已被移除，并接地进行处理。①在放电伊始，电容器的电压Uc等于初始电压Ui。此时，容器内充斥着电荷，电场达到最强，而电阻保持不变，因此放电电流Ic达到最大值（方向与充电时相反）。同时，电阻两端的电压Ur也等于Uc，即Ur=Ui。②随着Uc的逐渐下降，电场强度开始减弱，放电电流Ic随之逐渐减小，而Ur=Uc也在不断减小。③当放电过程完全结束时，Uc降低至0V，容器内电荷耗尽，电场消失，此时电阻两端的电压Ur也随之降至0V。图2展示了电容容器的放电模型，类似于水桶的原理，电容内的电荷也是逐渐从0开始积累，这一过程与自然常数e紧密相关。而图3则清晰地描绘了电容充放电时的电压-电流变化曲线。
①电容的电压在充放电过程中保持稳定，不会发生突变，而电流却可以在瞬间发生变化（这是由于电容的特性决定的，其电流与电压的变化率成正比）。②在充电阶段，电容可以被视作一个可变电阻，其阻值随电压变化；而在放电阶段，电容则可被等效为一个恒定的电压源。③电容电流代表了单位时间内通过电容的电荷量，而电容电压则反映了累积的电荷量。简单来说，电荷量的变化是由电流（即电荷的流动）所引起的（这与①中的描述相一致）。用数学语言来描述，电容的电流相位超前于电压90度。④电容的充放电速度受到电容和电阻值的共同影响。在充分理解电容的特性后，我们接下来将探讨更复杂的电路，如分压电路。例如，图4所示的纯阻性分压电路，就是比例运算电路的基础模型。根据欧姆定律，我们可以分析出VCC=2.5V时的电路特性。在图5中，我们将R2替换为04（0.μF）电容，此时，当C电容充满电后，其近似呈现开路状态，而VCC则设定为5V。这个电路便构成了积分运算电路的初步形态。若我们进一步将5V电源替换为信号源，便可形成低通滤波电路。
图6：积分电路的充电波形在图6中，我们展示了积分电路的充电过程波形。红色曲线代表5V电源的波形，而蓝色曲线则表示VCC的波形。由于电容在充电过程中，其容抗会逐渐增大，直至呈现开路状态，因此分压VCC也会相应地从较小值逐渐增大到5V。此外，电容充电需要耗费一定时间，这使得VCC的波形变化较为平缓。值得注意的是，这个5V的输出波形与开关电源上电软启动时的波形相似。
图7：PI电路波形将图4和图5中的电路组合在一起，我们得到了图7所示的PI电路，即比例积分电路。这种电路在参考电压或分压电路中非常常见。通过加入电容，我们可以增加电路的延时性，确保VCC的电压在5V电源波动时能够保持稳定，即VCC=2.5V。
图7：PI电路若将图5中的电容与电阻位置互换，我们便能得到图8所示的电路。此时，C电容在充满电后近似呈现开路状态，导致VCC电压降为0V。这个电路恰好构成了微分运算电路的初步形态。若我们将5V电源替换为信号源，便可进一步构建出高通滤波电路。
图8：微分电路继续观察图9，我们可以看到微分电路的充电波形。其中，红色波形代表5V的输入信号，而蓝色波形则表示VCC的输出电压。在电容充电的过程中，其容抗会逐渐增大，直至呈现开路状态，这时分压VCC会相应地从高值降低至0V。值得注意的是，在红色波形发生跳变的瞬间，VCC已经达到了其最大值。这一现象揭示了微分电路具有超前预判的特性，它能够反映出输入信号的变化率。
图9：微分电路波形继续观察图9，我们可以更深入地了解微分电路的波形变化。在电容充电的过程中，其容抗逐渐增大，直至呈现开路状态，导致分压VCC从高值逐渐降至0V。值得注意的是，在输入信号红色波形发生跳变的瞬间，VCC已经率先达到了其最大值。这一观察结果进一步印证了微分电路的超前预判特性，它能够敏锐地捕捉并反映出输入信号的变化率。
图0：比例运算电路在比例运算电路中，输出电压Uo与输入电压Ui之间呈现线性关系，如图所示。这一特性使得比例运算电路成为一种重要的电子电路，广泛应用于各种电子设备中。
图展示了比例运算电路的波形其中输出电压Uo与输入电压Ui之间呈现出线性关系。而图2和图3则描绘了微分运算电路的充放电过程。在充电阶段，电容C可被视为一个可变电阻。起初，C的容抗为0，电压无法突变因而保持为0，这使得运放-输入端获得的正分压达到最大峰值。因此，Uo达到运放的负最大峰值。随着电容逐渐充满电，U0的值则逐渐降至0。图2展示了微分运算电路的充电过程。在此阶段，电容C可被视作一个电压源，其电压变化不可突变。随着充电的进行，电流逐渐反向并达到最大值，同时R上的电压也瞬间反向并达到最大值。这使得运放-输入端所获得的分压变为负最大峰值，进而导致Uo达到运放的正最大峰值。当电容完全充满电后，U0的值则逐渐降至0。
接下来，我们来看图3，它描绘了微分运算电路的放电过程。在这一阶段，电容C可被等效成一个电压源，其电压同样不可突变。放电开始时，电流和R上的电压瞬间反向并达到最大值。运放-输入端因此获得负分压的最大峰值，导致Uo降至运放的正最大峰值以下。随着电容逐渐放电完毕，U0的值最终也降至0。图3展示了微分运算电路的放电过程。在此阶段，电容C同样被视为一个电压源，其电压变化依然保持稳定，不会发生突变。放电开始时，电流和R上的电压会瞬间反向并达到最大值。这使得运放-输入端获得负分压的最大峰值，进而导致Uo降低至运放的正最大峰值以下。随着电容的逐渐放电，U0的值最终也降至0。
再来看图4，它描绘了微分运算电路的输入与输出波形。结合前面的分析，我们可以得出结论：Uo实际上反映了Ui的变化率。这种特性使得微分运算电路具有预判超前的功能。
图5展示了微分运算的仿真电路。为了预防运放出现饱和现象，必须对输入电流进行限制。在实际应用中，通常会在电容C的输入端串联一个微小的电阻R2。尽管这样会改变电路的理想状态，但只要输入信号的周期大于两倍的RC常数，该电路仍可近似为微分运算电路。
图6展示了微分运算仿真电路的波形其中IN-代表运放-输入端的波形。通过观察这个波形，我们可以更直观地了解微分运算的过程和结果。在充电初期，电容C可被视为一个可变电阻，其容抗为0，导致电压无法突变，因此初始电压为0。这时，运放-输入端所得到的分压也为0，使得输出电压Uo为0。随着电容逐渐充满电，运放-输入端所获得的分压达到正的最大值，而输出电压Uo则达到运放的负最大峰值。这一过程完整地描绘了积分运算电路的充放电行为。图5展示了积分运算电路的放电过程。在此阶段，电容C可被视作一个电压源，其电压变化不可突变。同样，运放-输入端所得到的分压也保持稳定，不会发生突变。当电容完全放电后，输出电压Uo会从负的最大峰值开始逐渐降至0。这一描绘清晰地展现了积分运算电路在放电时的行为特点。结合之前的分析，我们可以看出，输出电压Uo实际上反映了输入电压Ui的积累过程。这种积累效应使得电路能够实现延迟稳定的效果。图8展示了积分运算的仿真电路。为防运放饱和，实际运用中，需在电容C2两端并联一电阻R3。并联电阻后，电路虽非理想积分运算电路，但若输入信号周期超过2倍RC常数，其性能仍可近似为积分运算电路。
图9展示了积分运算仿真电路的波形其中IN-表示运放负输入端的波形。
图9展示了积分运算仿真电路的波形其中IN-代表运放负输入端的波形。通过观察这一波形，我们可以深入了解积分运算的过程和结果。①微分和积分运算电路通过充分利用电容在充放电过程中的电压不可突变特性，实现了对输出的精准调节，尤其适用于处理变化的输入信号。②微分D控制展现出超前预判的特性，而积分I控制则侧重于延迟稳定。在PID调节速度的对比中，微分D控制表现出色，其次为比例P控制，最后是积分I控制。